تحليل العبارة التربيعية بإكمال المربع :

 

تبدو الكثير من العبارات التربيعية ( التي اتفقنا على إعطائها الشكل العام أس² + ب س + ج) غير قابلة للتحليل للوهلة الأولى , ولكن بعد التمعن فيها وإجراء بعض التغييرات على شكلها ( دون تغيير قيمتها) نجد أن تحليلها أصبح ممكناً . ادرس العبارة 16ب⁴ + 4ب² + 1 ومظهرها يدل على أنها غير قابلة للتحليل , ولكنها في واقع الأمر عبارة تربيعية قابلة للتحليل , وقد أشرنا إلى ذلك في الدرس الثامن حيث ورد في السؤال رقم (1) من التقويم فرع (3) طلب تحليل العبارة 64ب⁶ ـ 1 ونعيد تحليل هذه العبارة بعدة طرق .

 

الطريقة الأولى : تحليل العبارة على أنها فرق بين مربعين

1) 64ب⁶ ـ 1 = ( 8ب³ ـ 1)(8ب³ + 1)  لقد أدت هذه الخطوة إلى ظهور عبارة جديدة مكونة من قوسين يحوي الاول فرق بين مكعبين ويحوي الثاني مجموع مكعبين وكلاهما قابل للتحليل , إذن :

 

2) 64ب⁶ ـ 1 = (8ب³ ـ 1)(8ب³ + 1)

                    = (2ب ـ1)(4ب² + 2ب + 1)(2ب+ 1)(4ب² ـ 2ب + 1)

لقد انتهت عملية التحليل وحصلنا على أربعة أقواس مضروبة في بعضها وهي ( بعد إعادة ترتيبها )

                  = (2ب ـ 1)(2ب+ 1)(4ب² +2ب + 1)(4ب² ـ 2ب + 1)

 

الطريقة الثانية :
نبدأ بتحليل العبارة 64ب⁶ ـ 1 على أساس أنها فرق بين مكعبين وهي حقاً كذلك :

1) 64ب⁶ ـ 1 = (4ب² ـ 1)(16ب⁴ + 4ب² + 1)

لقد أدت هذه الخطوة إلى ظهور قوسين الأول منهما مكون من فرق بين مربعين قابل للتحليل , والثاني عبارة تربيعية غير قابلة للتحليل ( ظاهرياً ) , لننتقل الآن إلى الخطوة (2) وهي متابعة التحليل .

2)64ب⁶ ـ 1 = (4ب² ـ 1)(16ب⁴ + 4ب² + 1)
                   = ( 2ب ـ 1)(2ب + 1)(16ب⁴ + 4ب² + 1)

وهكذا حصلنا نتيجة هذه الطريقة على تحليل جديد للمقدار 64ب⁶ ـ 1 يتكون من ثلاثة أقواس , فكيف حدث هذا ؟؟

هل للعبارة تحليلان مختلفان ؟