الطريقة الثالثة : لقد تبين أن :

1)64ب⁶ ـ 1 = (2ب ـ 1)(2ب+ 1)(4ب² + 2ب + 1) (4ب² ـ 2ب + 1)

2) 64ب⁶ ـ 1= (2ب ـ 1)(2ب+ 1)(16ب⁴ + 4ب² + 1)

إذن لا شك أن :

(16ب⁴ + 4ب² + 1) = (4ب² + 2ب + 1)(4ب² ـ 2ب + 1)

إذن العبارة 16ب⁴ + 4ب² + 1 عبارة تربيعية قابلة للتحليل في قوسين هما :

(4ب² + 2ب+ 1)(4ب² ـ 2ب+ 1) , ولكن هذه العبارة التي تبدو وكأنها مربعاً كاملاً ليست كذلك , فماذا ينقصها حتى تصبح مربعاً كاملاً قابلاً للتحليل في قوسين متشابهين ؟ جرب الإجابة على هذا السؤال بنفسك قبل متابعة الخطوة التالية :

3) 16ب⁴ + 4ب² + 1 + 4ب² ـ 4ب²

لقد أضفنا وطرحنا 4ب² للعبارة أي أننا لم نضف لها شيئاً وبالتالي بقيت العبارة كما هي بدون تغيير في القيمة , إن هذا يمكن تشبيهه كأن يعطيك أحدهم أربعة أشياء ثم يأخذها ذاتها منك , إنه لم يعطك شيئاً في الحقيقة .
 

4) بإعادة كتابة العبارة السابقة بترتيب جديد تصبح :

(16ب⁴ + 8ب² + 1) ـ 4ب²

والعبارة داخل القوس مربع كامل يمكن كتابته على صورة :

16ب⁴ + 8ب² + 1 = (4ب² + 1)²

 

5) إذن تصبح عبارتنا :

16ب⁴ + 4ب² + 1 = (4ب² + 1)² ـ 4ب²

والطرف الأيسر هو فرق بين مربعين يمكن تحليله بسهولة

         = (4ب² + 1 ـ 2ب) (4ب² + 1 + 2ب)

 

  وبإعادة الترتيب :

       = (4ب² ـ 2ب+ 1)(4ب² + 2ب + 1)

تدعى هذه الطريقة طريقة إكمال المربع لأننا أضفنا حداً هو (4ب²) ( وطرحناه في مكان آخر بالطبع ) جعل العبارة التربيعية 16ب⁴ + 4ب² + 1 تصبح مربعاً كاملاً هو 16ب⁴ + 8ب² + 1