العامل المشترك الأعلى Greatest Common Factor :

مثال محلول (1):  حلل العددين 108 ، 168 إلى عواملها الأولية، واكتب هذه العوامل على شكل قوى ثم أوجد:

أ. العوامل المشتركة بينهما.

ب. العامل المشترك الأعلى لهما.

الجواب:

ومن التحليل السابق نجد أن هناك عاملين مشتركين بين العددين وهما (2) ( 3) ، أما العدد (7) فهو غير مشترك .

لكن ع . م . أ = حاصل ضرب العوامل المشتركة فقط

إذن ع . م . أ للعددين 108 ، 168

= ²2 × 3

= 4 × 3

= 12

وأنه لم يعد هناك أي عامل مشترك بين ناتجي القسمة وهما ( 9 ، 14 ) وهذا دليل أكيد على أن ( 12 ) هو ع . م . أ للعددين.

مثال محلول (2):  حلل الأعداد 30 ، 75 ، 120 إلى عواملها الأولية ثم أوجد العامل المشترك الأكبر لهما.

الحل:  

30 = 2 × 3 × 5 = ¹2 × ¹3 × ¹5

75 = 3 × 5 × 5 = ¹3 × ²5

120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = ³2 × ¹3 × ¹5

العوامل المشتركة هي (3) و (5) بينما (2) ليس عاملاً مشتركاً.

لاحظ 30 = 15 × 2

75 = 15 × 5

120 = 15 × 2 × 2 × 2 = 15 × 8

إذن ع . م . أ للأعداد 30 ، 75 ، 120 = 15

لاحظ أن 15 = 3 × 5

مثال محلول (3):  أوجد ( ع . م . أ ) لكل مما يلي :

أ. 42 ، 64 .              ب. 10 ، 20 ، 9                   ج. 72 ، 81

الحل:

أ. 42 = 2 × 3 × 7 = ¹2 × ¹3 × ¹7

64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = ¹2 × ⁵2

( ع . م . أ .) = ¹2 = 2

ب. 10 = 2 × 5 = ¹2 × ¹5

20 = 2 × 2 × 5 = ²2 × ¹5

9 = 3 × 3 = ²3

( ع . م . أ .) = 1 ، تلاحظ هنا عدم وجود عوامل مشتركة غير العدد (1) ولهذا يكون ( ع . م . أ ) = 1.

ج. 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = ³2 × ²3

81 = 3 × 3 × 3 × 3 = ²3 × ²3

( ق . م . أ .) = ²3 = 9

مثال محلول (4):  ما هو القاسم المشترك الأعظم للعدد 17 ؟

الجواب:  القاسم المشترك الأعظم هو العدد 17 نفسه.

وعموماً القاسم المشترك الأعظم لأي عدد منفرد هو العدد ذاته.

تدريب(2):  أوجد العامل المشترك الأكبر لكل مجموعة من مجموعات الأعداد التالية:

أ. 30 ، 50 .                       ب. 18 ، 48 .

ج. 25 ، 75 .                      د. 4 ، 12 ، 80 .

هـ. 5 ، 12 .                      و. 21 ، 7 ، 6 .

ز. 51 ، 85 ، 17 .